高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理学案（含解析）新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

四 角三角形的射影定理1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，则有 CD2＝AD · BD ，AC2＝AD · AB ，BC2＝BD · AB .射影定理的有关计算 如图，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，若 AD＝2 cm，DB＝6 cm，求 CD，AC，BC 的长． 在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理． CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝＝2(cm)． AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝＝4(cm)． BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝＝4(cm)．故 CD，AC，BC 的长分别为 2 cm,4 cm，4 cm.(1)在 Rt△ABC 中，共有 AC，BC，CD，AD，BD 和 AB 六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在△ABC 中，AB＝m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB于点 D.求 BD，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为 x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，得∠ABC 的度数为 2x，∠ACB 的度数为 3x.因为∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，所以 x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°.所以∠ABC＝60°，∠ACB＝90°.1因为 AB＝m，所以 BC＝m.又因为 CD⊥AB，所以 BC2＝BD·AB，即 2＝BD·m.所以 BD＝m.AD＝AB－BD＝m－m＝m.由 CD2＝AD·BD＝m·m＝ m2，得 CD＝ m.因此，BD 的长是 m，CD 的长是 m.2．已知 CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，如果两直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.求：(1)AD∶BD 的值；(2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．解：(1) AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴＝.∴＝2＝2＝.(2) AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝×25＝9(cm)，BD＝×25＝16(cm)．∴CD＝＝＝12(cm).利用射影定理证明 如 图 所 示 ， CD 垂 直 平 分 AB ， 点 E 在 CD 上，DF⊥AC，DG⊥ BE ，F，G 分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE. 先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论． CD 垂直平分 AB，∴△ACD...