高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案

3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率(1)定义式：＝.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数 y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线 P1P2的斜率．思考：Δx，Δy 的取值一定是正数吗？[提示] Δx≠0，Δy∈P.2．函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率(1)定义式：lim ＝lim .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．3．函数 f(x)在 x＝x0处的导数函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率称为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f ′ ( x 0) 或 y ′| x ＝ x 0，即 f′(x0)＝lim ＝lim.[基础自测]1．思考辨析(1)Δy 表示 f(x2)－f(x1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( )(3)函数 f(x)＝x 在 x＝0 处的瞬时变化率为 0.( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数 f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为( )A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44B [Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是 s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( ) 【导学号：97792121】A．0.41 B．3 C．4 D．4.1D [Δ＝＝＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的平均变化率 (1)若函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则＝( )A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2(2)汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图 311，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为__________．图 311(3)球的半径从 1 增加到 2 时，球的体积平均膨胀率为__________．[解] (1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4Δx∴＝2Δx＋4，故选 C.(2)由题意知，＝kOA，＝kAB，＝kBC.根据图象知<<.(3)Δv＝π×23－π×13＝π.∴＝π.[答案] (1)C (2)<< (3)π[规律方法] 求函数 y＝f(x)从 x0到 x 的平均变化率的步骤(1)求自...