高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1-3.1.2 变化率问题、导数的概念学案（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案

3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一 函数 y＝f(x)从 x1到 x2的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数 y＝f(x)表示．自变量 x 表示某旅游者的水平位置，函数值 y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点 A 的坐标为(x1，y1)，点 B 的坐标为(x2，y2)．思考 1 若旅游者从点 A 爬到点 B，自变量 x 和函数值 y 的改变量分别是多少？答案 自变量 x 的改变量为 x2－x1，记作 Δx，函数值的改变量为 y2－y1，记作 Δy.思考 2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？AB 与 BC 哪一段更陡峭？答案 ①对山路 AB 来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．②BC 更陡峭．梳理 (1)定义式：＝，叫函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率．(2)实质：函数值的增量与自变量增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)平均变化率的几何意义：设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线 AB 的斜率，如图所示．特别提醒：Δx 是变量 x2在 x1处的改变量，且 x2是 x1附近的任意一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可以为正，也可以为负．知识点二 函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率定义式lim＝lim实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢特别提醒：“Δx 无限趋近于 0”的含义Δx 趋于 0 的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.知识点三 导数的概念定义式lim＝lim记法f ′( x 0)或 y′|x＝x0实质函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数就是 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率1．函数在某一点的导数与 Δx 值的正、负无关．( √ )2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( × )3．在导数的定义中，Δx，Δy 都不可能为零．( × )类型一 函数的平均变化率命题角度 1 求函数的平均变化率例 1 求函数 y＝2x2＋3 在 x0到 x0＋Δx 之间的平均变化率，并求当 x0＝2，Δx＝－时该函数的平均变化率．考点 平均变化率的概念题点 求平均变化率解 当自变量从 x0变化到 x0＋Δx 时...