高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数课堂导学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学学案

3.1 导数课堂导学三点剖析一、求函数的平均变化率【例 1】 求 y=2x2+1 在 x0到 x0+Δx 之间的平均变化率.解析：当自变量从 x0到 x0+Δx 时函数的平均变化率为：xxxxxxfxxf)12()]1(2[)()(20000=4x0+2Δx温馨提示求函数 f(x)平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量 Δf=f(x2)-f(x1)(2)计算平均变化率1212)()(xxxfxfxf二、利用导数的定义求导【例 2】 利用导数的定义求下列函数的导数.(1)y=x2+ax+b;(2)y=.1x解析：Δy=(x+Δx)2+a(x+Δx)+b-x2-ax-b=(Δx)2+a(Δx)+2xΔx.xxxxaxxy·2)()(2=Δx+a+2x.y′=0limx(Δx+a+2x)=2x+a.(2)Δy=xxx11.21,21·21lim.)(··1.)(··23230222xyxxxxyxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxxx即温馨提示利用定义求导数分三步：①求 Δy;② 求xy;③ 求xyx0lim.三、利用导数求切线方程1【例 3】 求函数 y= 41 x2在点 P(2,1)处切线的方程.思路分析：利用导数求切线方程的步骤：① 先求出函数 y=f(x)在点 x0处的导数 f′(x0);② 根据直线方程的点斜式，得切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0).解：欲求切线方程需先求过点 P 的切线的斜率 K=.lim0xyx而 Δy= 41 (2+Δx)2- 41 ×22= 21×2Δx+ 41 (Δx)2,∴1)41221(limlim00xxyxx∴过点 p 的切线方程为 y-1=x-2.即 x-y-1=0.温馨提示f(x)在 x0处的导数 f′(x0)，即为在该点处的切线的斜率，这是导数的几何意义.各个击破类题演练 1求函数 y=x3-2,当 x=2 时，xy的值.解：Δy=(x+Δx)3-2-(x3-2)=(2+Δx)3-23=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx∴xy=(Δx)2+6Δx+12变式提升 1自由落体运动方程为 s= 21 gt2,计算从 3 s 到 3.1 s 内的平均速度.解：Δt=3.1-3=0.1(s)Δs=s(3.1)-s(3)= 21 g×3.12- 21 g×32=0.305gcm∴1.0305.0gtsv=3.05g(m/s)类题演练 2求函数 y=x 在 x=1 处的导数.解析：Δy=11111,11xxxxyx|21|,21111lim10xxyx2变式提升 2已知 f(x)在 x0处可导，则hhxfhxfh2)()(lim000等于( )A. 21 f′(x0)B.f′(x0)C.2f′(x0)D.4f′(x0)解析：转化成导数的定义.).()]()([21])()(lim)()(lim[21])()()()([21lim2)]()([)()(lim2)()(lim0000000000000000000000xfxfxfhxfhxfhxfh...