高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案VIP专享

3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点)2.了解导数的概念并会求函数在某点处的导数.(难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易错点)[基础·初探]教材整理 1 变化率问题阅读教材 P72～P74“思考”部分，完成下列问题.函数的变化率函数 y＝f(x)从 x1到 x2的平均变化率(1)定义式：＝.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比 . (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx 表示 x2－x1是相对于 x1的一个增量，Δx 可以为零.( )(2)Δy 表示 f(x2)－f(x1)，Δy 的值可正可负也可以为零.( )(3)表示曲线 y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√教材整理 2 导数的概念阅读教材 P74导数的概念～P75例 1 以上部分，完成下列问题.1.函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率(1)定义式：lim ＝lim .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值.(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢.2.函数 f(x)在 x＝x0处的导数函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率称为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f ′ ( x 0) 或 y ′| ，即 f′(x0)＝lim ＝lim .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数值与 Δx 值的正、负无关.( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.( )(3)在导数的定义中，Δx，Δy 都不可能为零.( )(4)函数 f(x)＝x 在 x＝0 处的瞬时变化率为 0.( )1【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×[小组合作型]平均变化率 (1)函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为______，当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值为________.(2)已知函数 f(x)＝－x2＋x 的图象上的一点 A(－1，－2)及临近一点 B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝________.【自主解答】 (1)函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.当 x0＝2，Δx＝0.1 时，函数 y＝3x2＋2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.(2) Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx)2＋3Δx，∴＝＝－Δx＋3.【答案】 (1)6x0＋3Δx 12.3 (2)－Δx＋3求平均变化率的主要步骤1.计算函数值的改变量 Δy＝f(x2)...