高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标：1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：① 几何表示法：空间向量用有向线段表示；② 字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，终点是 B，也可记作：AB，其模记为| a | 或| AB | .2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a 的相反向量：－ a AB的相反向量：BA相等向量相同相等a＝b3.向量的加法、减法空间向量的运算加法OB＝OA ＋ OC ＝a＋b减法CA＝OA － OC ＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b ＋ a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋ ( b ＋ c ) 4.空间向量的数乘运算(1)定义：实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当 λ>0 时，λa 与向量 a 方向相同；当 λ<0 时，λa 与向量 a 方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0；λa 的长度是 a 的长度的| λ | 倍．(2)运算律：① λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b ；② λ(μa)＝( λμ ) a .5．共线向量和共面向量(1)共线向量① 定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．② 共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ 使 a ＝ λ b .③ 点 P 在直线 AB 上的充要条件：存在实数 t，使OP＝OA ＋ t AB .(2)共面向量① 定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．② 共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p ＝ x a ＋ y b .③ 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使AP＝x AB ＋ y AC 或对空间任意一点 O，有OP＝OA ＋ x AB ＋ y AC .思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足OP＝OA＋OB＋OC，则点 P 与点A，B，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)...