3.1.2 空间向量的基本定理课堂探究探究一 共线向量定理的应用判定向量共线就是利用已知条件找到实数 x，使 a＝xb 成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出 a＝xb，从而得出 a∥b，即向量 a 与 b 共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．【典型例题 1】 如图所示，四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是AC，BF 的中点．判断CE与MN是否共线？思路分析：由共线向量定理，要判断CE与MN是否共线，即看能否找到 x，使CE＝xMN成立．解： M，N 分别是 AC，BF 的中点，而四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形，∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.又 MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB，∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，∴CE∥MN，即CE与MN共线．探究二 共面向量定理的应用判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．当然，必要时也可选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．【典型例题 2】 已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 M 满足OM＝OA＋OB＋OC.(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．思路分析：要证明三个向量共面，只需证明存在两个实数 x，y，使MA＝xMB＋yMC，证明了三个向量共面，点 M 就在平面内．解：(1) OA＋OB＋OC＝3OM，∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC，1∴向量MA，MB，MC共面．(2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，三个向量的基线又有公共点 M，∴M，A，B，C 共面，即点 M 在平面 ABC 内．探究三 空间向量分解定理的应用选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．这就是向量的分解，空间向量分解定理表明，用空间三个不共面的向量组{a，b，c}可以表示出任意一个向量，而且 a，b，c 的系数是唯一的．【典型例题 3】 如图所示，已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA⊥平面 ...
