3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.知识点一 空间向量的数乘运算思考 实数 λ 和空间向量 a 的乘积 λa 的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案 λ>0 时，λa 和 a 方向相同；λ<0 时，λa 和 a 方向相反；λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：① 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，② 结合律：λ(μa)＝(λμ)a.梳理 (1)实数与向量的积与平面向量一样，实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作 λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝| λ || a | .② 当 λ>0 时，λa 与向量 a 方向相同；当 λ<0 时，λa 与向量 a 方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝( λμ ) a ；②λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b ；③(λ1＋λ2)a＝λ1a ＋ λ 2a(拓展).知识点二 共线向量与共面向量思考 1 回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义.答案 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.思考 2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案 正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量.梳理 (1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合充要条件对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，存在实数 λ，使 a ＝ λ b 点 P 在直线 l上的充要条件存在实数 t 满足等式OP ＝ OA ＋ t a ，在直线 l 上取向量AB＝a，则OP＝OA＋tAB向量 a 为直线 l 的方向向量(2)共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量 p 与不共线向量 a，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使 p ＝ x a ＋ y b 点 P 位于平面ABC 内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使AP＝xAB＋yAC对空间任一点 O，有OP＝OA＋xAB＋yAC类型一 向量共线问题例 1 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E 在 A1D1上，且A1E＝2ED1，F 在对角线 A1C 上，且A1F＝FC...
