3.1.3 空间向量的数量积运算学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.知识点一 空间向量数量积的概念思考 1 如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA与BC的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.答案 BC＝AC－AB，∴OA·BC＝OA·AC－OA·AB＝|OA||AC|cos〈OA，AC〉－|OA||AB|cos〈OA，AB〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.思考 2 等边△ABC 中，AB与BC的夹角是多少？答案 120°.梳理 (1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做 a，b 的数量积，记作 a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ ( a · b ) 交换律a·b＝b · a 分配律a·(b＋c)＝a · b ＋ a · c (3)空间向量的夹角① 定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉.② 范围：〈a，b〉∈[0 ， π] .特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.知识点二 空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质① 若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a · b ＝ 0 ② 若 a 与 b 同向，则 a·b＝| a |·| b | ；若反向，则 a·b＝－ | a |·| b | .特别地，a·a＝| a | 2 或|a|＝③ 若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝④|a·b|≤|a|·|b|类型一 空间向量的数量积运算命题角度 1 空间向量的数量积基本运算例 1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.①p2·q2＝(p·q)2；②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；③ 若 a 与(a·b)·c－(a·c)·b 均不为 0，则它们垂直.解 ①此命题不正确. p2·q2＝|p|2·|q|2，而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，∴当且仅当 p∥q 时，p2·q2＝(p·q)2.② 此命题不正确. |p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.③ 此命题正确. a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(...
