3．1.1 空间向量及其加减运算[提出问题]李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶 1 000 m，再向东行驶 1 500 m，最后乘电梯上升 15 m 到 5 楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题 1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题 2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．[导入新知]1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．2．几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为 0 的向量0单位向量模为 1 的向量|a|＝1 或|AB |＝1相反向量与 a 长度相等而方向相反的向量称为 a 的相反向量－a相等向量方向相同且模相等的向量a＝b 或AB＝CD 3.空间向量的加法和减法运算空间向量的运算加法OB＝OA＋AB ＝a＋b减法CA＝OA－OC ＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b ＋ a ；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋ ( b ＋ c ) [化解疑难]1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0 与任何空间向量平行．2．单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为 1.3．方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．4．空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量1空间向量的概念辨析[例 1] 下列说法中正确的是( )A．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相同，方向相同或相反B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形 ABCD 中，一定有AB＋AD＝AC[解] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定；对于 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB＋AD＝AC，只有在平行四边形中才能成立．故选 B.答案：B[类题通法](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．[活学活用]给出下列命题：① 零向量没有确定的方向；② 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AC＝A1C1；③ 若向量 a 与向量 b 的模相等，则 a，b 的方向相同或相反．其中正确命题的序号是________．...
