3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标 1.了解空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．知识点一 空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘几何定义λ＞0λa 与向量 a 的方向相同λ＜0λa 与向量 a 的方向相反λa 的长度是 a的长度的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律分配律λ(a＋b)＝λa＋λb结合律λ(μa)＝(λμ)a知识点二 共线向量与共面向量思考 1 回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义．答案 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．思考 2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案 正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．梳理 平行(共线)向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λb若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb推论如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于空间任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使OP＝OA＋ta，①其中 a 叫做直线 l 的方向向如图，空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝xMA＋yMB，或对空间任意一点量，如图所示．若在 l 上取AB＝a，则①式可化为OP＝OA＋tABO 来说，有OP＝OM＋xMA＋yMB(1)若 p＝xa＋yb，则 p 与 a，b 共面．(√)(2)若 p 与 a，b 共面，则 p＝xa＋yb.(×)(3)若MP＝xMA＋yMB，则 P，M，A，B 共面．(√)(4)若 P，M，A，B 共面，则MP＝xMA＋yMB.(×)类型一 共线问题例 1 (1)已知向量 a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( )A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D(2)设 e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB＝e1＋ke2，BC＝5e1＋4e2，DC＝－e...
