3.1.3 空间向量的数量积运算学习目标 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.3.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．知识点一 空间向量的夹角思考 〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？答案 〈a，b〉与〈b，a〉分别表示向量 a，b 与 b，a 的夹角，根据空间向量夹角的定义知〈a，b〉与〈b，a〉相等．梳理 (1)如图所示，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈 a ， b 〉 ．(2)a，b 为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a 与 b 的夹角的范围是[0 ， π] ，其中当〈a，b〉＝0 时，a 与 b 方向相同；当〈a，b〉＝π 时，a 与 b 方向相反；当〈a，b〉＝时，a 与 b 互相垂直．反之，若 a∥b，则〈a，b〉＝0 或 π；若 a⊥b，则〈a，b〉＝.知识点二 数量积的概念及运算律1．已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)|a|2＝a·a，|a|＝.(3)cos〈a，b〉＝.3．空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)．(2)a·b＝b·a(交换律)．(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．(1)对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，可得 a＝c.(×)(2)对于向量 a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(3)若非零向量 a，b 为共线且同向的向量，则 a·b＝|a||b|.(√)(4)对任意向量 a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(√)类型一 数量积的计算例 1 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求：(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)EF·DC；(4)AB·CD.考点 空间向量数量积的概念及性质题点 用定义求数量积解 (1)EF·BA＝BD·BA＝|BD||BA|·cos〈BD，BA〉＝cos 60°＝.(2)EF·BD＝BD·BD＝|BD|2＝.(3)EF·DC＝BD·DC＝|BD|·|DC|cos〈BD，DC〉＝cos 120°＝－.(4)AB·CD＝AB·(AD－AC)＝AB·AD－AB·AC＝|AB||AD|cos〈AB，AD〉－|AB||AC|cos〈AB，AC〉＝cos 60°－cos 60°＝0.反思与感悟 (1)已知 a，b 的模及 a 与 b 的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用 a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．跟踪训练 1 已知长方体...
