3．1.3 空间向量的数量积运算空间向量的夹角[提出问题]如图所示，已知平面向量 a，b.问题 1：试作出向量 a，b 的夹角．提示：如图，∠AOB 为 a 和 b 的夹角．问题 2：若 a，b 为空间非零向量，两向量还有夹角吗？若有，试作出．提示：有；在空间取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 为两向量的夹角．[导入新知]如果〈a，b〉＝，那么向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b.[化解疑难]1．由定义知，两个非零向量才有夹角，当两个非零向量共线同向时，夹角为 0；共线反向时，夹角为 π.2．对空间任意两个非零向量 a，b，有：(1)〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉；(2)〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉.空间向量的数量积[提出问题]1问题 1：平面向量的数量积 a·b 是怎样定义的？提示：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．问题 2：类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间向量数量积定义吗？提示：能，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．问题 3：空间向量数量积运算满足交换律和分配律吗？提示：满足．[导入新知]1．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做 a，b 的数量积，记作 a·b.即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；② 交换律：a·b＝b·a；③ 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量数量积的性质序号性质(1)a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中 e 为单位向量)(2)若 a，b 为非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝(4)若 a，b 为非零向量，则 cos〈a，b〉＝(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a，b 共线时等号成立)[化解疑难]1．向量 a，b 的数量积记为 a·b，而不能表示为 a×b 或 ab.2．向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角 θ 的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但 a·b＞0 时，θ 可能为 0；θ 为钝角时，a·b＜0，但 a·b＜0 时，θ 可能为 π.3．向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即 a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．空间向量的数量积的运算[例 1] 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求值：(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)AB·CD.[解] (1)EF·BA＝BD·BA＝|BD||BA|·cos〈BD，BA〉＝cos 60°＝.(2)EF·BD＝BD·BD＝|BD|2＝.2(3)AB·CD＝AB·(AD－AC)＝AB·AD－AB·AC＝|AB||AD|cos〈AB，AD〉－|AB||AC|cos〈AB，AC〉...
