3.1.3 两个向量的数量积学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．知识点一 两个向量的夹角1．定义：已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.知识点二 两个向量的数量积1．定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做 a，b 的数量积(或内积)，记作 a·b.规定：零向量与任何向量的数量积都是 0.2．数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c注意：空间向量的数量积不满足结合律。知识点三 两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质① 若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a · b ＝ 0 ② 若 a 与 b 同向，则 a·b＝| a |·| b | ；若反向，则 a·b＝－ | a | ·| b | 特别地，a·a＝| a | 2 或|a|＝③ 若 θ 为 a，b 的夹角，则 cosθ＝④|a·b|≤|a|·|b|1．向量AB与CD的夹角等于向量AB与DC的夹角．( × )2．对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，可得 a＝c.( × )3．对于向量 a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )4．若非零向量 a，b 为共线且同向的向量，则 a·b＝|a||b|.( √ )5．对任意向量 a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( √ )题型一 数量积的计算例 1 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求：(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)EF·DC；(4)AB·CD.考点 空间向量数量积的概念与性质题点 用定义求数量积解 (1)EF·BA＝BD·BA＝|BD||BA|·cos〈BD，BA〉＝cos60°＝.(2)EF·BD＝BD·BD＝|BD|2＝.(3)EF·DC＝BD·DC＝|BD|·|DC|cos〈BD，DC〉＝cos120°＝－.(4)AB·CD＝AB·(AD－AC)＝AB·AD－AB·AC＝|AB||AD|cos〈AB，AD〉－|AB||AC|cos〈AB，AC〉＝cos60°－cos60°＝0.反思感悟 (1)已知 a，b 的模及 a 与 b 的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用 a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．跟踪训练 1 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E 为侧面 ...
