高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1.了解空间向量基本定理.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量基本定理思考 1 平面向量基本定理的内容是什么？答案 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考 2 平面向量的基底唯一确定吗？答案 不唯一．梳理 (1)空间向量基本定理条件三个不共面的向量 a，b，c 和空间任一向量 p结论存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc(2)基底条件：三个向量 a，b，c 不共面．结论：{a，b，c}叫做空间的一个基底．基向量：基底中的向量 a，b，c 都叫做基向量．知识点二 空间向量的坐标表示思考 平面向量的坐标是如何表示的？答案 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使 a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标．设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是点 A 的坐标，即若OA＝(x，y)，则 A 点坐标为(x，y)，反之亦成立(O 是坐标原点)．梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量，记作 e1，e2，e3空间直角坐标系以 e1，e2，e3的公共起点 O 为原点，分别以 e1， e 2， e 3 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作 p ＝ ( x ， y ， z ) (1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则 a，b，c 全不是零向量．(√)(3)如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 a 与 b 共线．(√)(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)类型一 基底的判断例 1 (1)下列能使向量MA，MB，MC成为空间的一个...