高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示运算（1）学案（无答案）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(1)【学法指导】：认真自学，积极听讲，愉快练习。●为必背知识教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．教学难点：理解空间向量基本定理．【教学过程】：一：自学题纲1. 复习:类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量 a，均可分解为不共线的两个向量11a�和22a�，使1122aaa��. 如果12aa�时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a�为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量 ,i j，则存在一对实数 x、y，使得axiy j，即得到平面向量的坐标表示( , )ax y.推广到空间(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量 a，均可分解为不共面的三个向量11a�、22a�、33a�，使112233aaaa��. 如果123,,a a a�两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解. (2)空间向量基本定理： 把{ , , }a b c叫做空间的一个 ， , ,a b c都叫做 。 都可构成空间的一个基底。 特别地，设321,,eee为 ，则这个基底叫做单位正交基底，单位——三个基向量的长度都为 1；正交——三个基向量互相垂直．2. 空间向量的坐标表示（教师讲解）空间中相等的向量其坐标是相同的．向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A111(,,)x y z，B222(,,)xyz，则 AB�＝OB�－OA�＝222(,,)xyz－111(,,)x y z＝212121(,,)xx yy zz．3. 向量的直角坐标运算：设 a＝123(,,)a a a，b＝123( ,,)b b b，则⑴a＋b＝ ； ⑵ a－b＝ ；⑶λa＝ ； ⑷ a·b＝ 。4. 两个向量共线或垂直的判定：设 a＝123(,,)a a a，b＝123( ,,)b b b，则1⑴a//b  a＝λb  ，()R 312123aaabbb；⑵a⊥b  a·b=0  ．5，向量的模：设 a＝123(,,)a a a，｜a｜＝ ，．这个式子我们称为向量的长度公式．,6，. 夹角公式 a·b＝|a||b|cos＜a,b＞ cos＜a,b＞＝ 。这个公式成为两个向量的夹角公式．特别地当 cos＜a、b＞＝1 时，a 与 b 同向；当 cos＜a、b＞＝－1 时，a 与 b 反向；当 cos＜a、b＞＝0 时，a⊥b．7，.空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z，222(,,)B xyz，则ABd= ，其中ABd 、 表示 A 与 B 两点间的距离．8.作业 1：课本 97 页练习 1，加｜a｜，cos＜a,b＞作业 2：课本 98 页习题 7作业 3：课本 98 页习题 8作业 4：习题 92