高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标 1.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算.3.会判断两向量平行或垂直.4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．知识点一 空间向量的坐标运算空间向量 a，b，其坐标形式为 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)减法a－ba－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)数乘λaλa＝( λa 1， λa 2， λa 3)数量积a·ba·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 模|a|＝|a|＝夹角cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝(1)空间直角坐标系中，向量AB的坐标与终点 B 的坐标相同．(×)(2)设 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且 b≠0，则 a∥b⇒＝＝.(×)(3)四边形 ABCD 是平行四边形，则向量AB与DC的坐标相同．(√)(4)设 A(0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA＝(0,1，－1)．(√)类型一 空间向量坐标的计算例 1 (1)已知向量 a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a＋3b)·(a－2b)＝________.(2)已知 a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则 cos〈a，b〉等于( )A.B.C.D.考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 (1)－244 (2)C解析 (1)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.(2)由已知得 a＝(1，，)，b＝(1,0，)，故 cos〈a，b〉＝＝＝.反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．跟踪训练 1 若向量 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 2解析 据题意，有 c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得 x＝2.类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示例 2 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设 a＝AB，b＝AC.(1)若|c|＝3，c∥BC...