3.1.5 空间向量运算的坐标表示自主预习·探新知情景引入 向量的坐标表示为我们展示了一幅美丽的画卷，那么将向量坐标化之后，向量的线性运算、数量积运算及向量平行、垂直、向量的模、夹角的坐标表示是不是更简化了？新知导学 1．空间向量运算的坐标表示设{i，j，k}为单位正交基底，即 i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，在此基底下，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，即 a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，根据向量线性运数与数量积运算的定义及运算律，可得出 a±b，λa，a·b，a⊥b，a∥b，|a|及cos〈a，b〉的坐标表示．(1)空间向量的线性运算及数量积的坐标表示设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a＋b＝__( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)__；②a－b＝__( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)__；③λa＝__( λa 1， λa 2， λa 3)( λ ∈ R ) __；④a·b＝__a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3__.(2)向量平行、垂直，向量的模、夹角的坐标表示：设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则① 若 a∥b(b≠0)，则____② 若 a⊥b，则 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.③|a|＝＝____；④cos〈a，b〉＝＝.2．向量的坐标及两点间的距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝__( x 2－ x 1， y 2－ y 1， z 2－ z 1)__，dAB＝|AB|＝____.预习自测 1．已知向量 a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( D )A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10 D．|a|＝6[解析] a＋b＝(10，－5，－2)，A 错误；a－b＝(－2,1，－6)，B 错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C 错误；|a|＝＝6，故选 D.2．(2019－2020 学年北京市房山区期末检测)已知向量 a＝(2，－3,5)与向量 b＝(4，x，－1)垂直，则实数 x 的值为( B )A．－1 B．1 C．－6 D．6[解析] 向量 a＝(2，－3,5)，与向量 b＝(4，x，－1)垂直，则 a·b＝0，由数量积的坐标公式可得：2×4＋(－3)×x＋5×(－1)＝0，解得 x＝1，故选 B.3．(安徽省蚌埠市 2019－2020 学年高二期末)空间直角坐标系中，点 P(1,2,3)关于平面xOz 对称的点的坐标为( B )A．(－1,2,3) B．(1，－2,3)C．(1,2，－3) D．(－1，－2，－3)[解析] 点 P(1,2,3)关于平面 xOz 对称的点的坐标为(1，－2,3)，选 B.4．(福建厦门市 2019－2020 学年高二质检)已知命题 p：若 a...
