第 1 课时 空间向量与平行、垂直关系 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念． 2.会求平面的法向量．3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔a＝ λ b ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a · u ＝ 0 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设 平 面 α ， β 的 法 向 量 分 别 为 u ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， v ＝ (a2 ， b2 ， c2) ， 则α∥β⇔u∥v⇔u ＝ λ v ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 ．(2)线面垂直设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是 u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝ λa 2， b 1＝ λb 2， c 1＝ λc 2( λ ∈ R ) ．(3)面面垂直若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2，b2，c2)，则 α⊥β ⇔ u⊥v ⇔ u·v＝0 ⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0 ． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(2)平面 α 的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( )(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 若 A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是( )A．(2，2，6) B．(－1，1，3)C．(3，1，1) D.(－3，0，1)答案：A 若平面 α⊥β，且平面 α 的一个法向量为 n＝，则平面 β 的法向量可以是( )A. B．(2，－1，0)C．(1，2，0) D.答案：C 若直线的方向...
