高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

3.1 二维形式的柯西不等式课堂导学三点剖析一,利用二维形式的柯西不等式证明不等式【例 1】 (1)如果 a,b>0,且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.(2)如果 a,b>0 且 a≠b,求证:a5+b5>a3b2+a2b3.证明：(1)(a3+b3)(a2b+ab2)=［(3a)2+(3b)2］［(ab)2+(ba )2］≥(3a·a ·b+3b· b ·a)2=(a2b+ab2)2,“=”成立的条件是3a· b ·a=3b·a ·b,即 a=b 时成立,但 a≠b,故“＝”不成立.∴(a3+b3)(a2b+ab2)>(a2b+ab2)2.∴a3+b3>a2b+ab2.(2)(a5+b5)(a+b)=［(5a)2+(5b)2］［(a )2+( b )2］>(5a·a +5b· b )2=(a3+b3)2.由(1)知 a3+b3>a2b+ab2,∴(a5+b5)(a+b)>(a2b+ab2)2=a2b2(a+b)2.∴a5+b5>a2b2(a+b)=a3b2+a2b3.∴原不等式成立.温馨提示 要利用二维形式的柯西不等式,就需要想法把要证的不等式写成两数平方和与另两数平方和的乘积的形式或者出现“乘积和的形式”(即两个数的乘积与另两个数的乘积之和的形式).各个击破类题演练 1设 a,b,c 均为正实数,且 acos2θ+bsin2θ0),∴(a cos2θ+ b sin2θ)2=［(a cosθ)·cosθ+( b sinθ)·sinθ］2≤［(a cosθ)2+( b sinθ)2］·(cos2θ+sin2θ)=acos2θ+bsin2θ0),则nbma =1,引进待定常数(a2α+b2α)(α∈R).由柯西不等式得(m2+n2)(a2α+b2α)≥(maα+nbα)2=(maα+nbα)2·12=(maα+nbα)2(nbma )2=［(maα+nba)(nbma )］2≥［(nbnbmama)2］2=(11 ba)4.2当且仅当bnam 时,第一个不等式取等号;当且仅当nbnbmama即2121bnam时,第二个不等式取等号.因此当且仅当两个等号同时成立时,即 α=21 ,亦即 α= 31 时,(22nm ...