3.1 二维形式的柯西不等式课堂探究1．对柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识．2．柯西不等式取“＝”的条件剖析：柯西不等式取“＝”的条件，也不易记住，我们可以多方面联系来记忆，如(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，取“＝”的条件是“ad＝bc”，有点像 a，b，c，d 成等比时，ad＝bc；柯西不等式的向量形式中|α·β|≤|α||β|，取“＝”的条件是 β＝0 或存在实数 k，使 α＝kβ.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆． 题型一 柯西不等式等号成立的条件【例 1】求证：点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离为 d＝.证明：设 Q(x，y)是直线上任意一点，则 Ax＋By＋C＝0.因为|PQ|2＝(x－x0)2＋(y－y0)2，A2＋B2≠0.由柯西不等式，得(A2＋B2)[(x－x0)2＋(y－y0)2]≥[A(x－x0)＋B(y－y0)]2＝[(Ax＋By)－(Ax0＋By0)]2＝(Ax0＋By0＋C)2，所以|PQ|≥.当且仅当＝时，取等号，|PQ|取得最小值.因此，点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离为 d＝.反思 利用二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，取“＝”的条件是 ad＝bc.因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中相当于柯西不等式中的“a，b ，c，d”的数或代数式，否则容易出错．题型二 利用柯西不等式证明某些不等式【例 2】设 a，b＞0，且 a＋b＝2.求证：＋≥2.分析：利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求＋的最小值，因而需出现(a2＋b2)(c2＋d2)结构．把＋视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是(2－a)＋(2－b)．证明：根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]＝[()2＋()2]≥2＝(a＋b)2＝4.∴＋≥＝2.当且仅当·＝·，即 a＝b＝1 时等号成立．∴原不等式成立．反思 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式做适当的变形．这种变形技巧往往要求很高，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、1组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．2
