3.1 二维形式的柯西不等式预习案一、预习目标及范围1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．二、预习要点教材整理 二维形式的柯西不等式内容等号成立的条件代数形式若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥当且仅当 时，等号成立向量形式设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当 ，或，等号成立三角形式设 x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥当且仅当时，等号成立三、预习检测1.已知 x＋y＝1，那么 2x2＋3y2的最小值是 ( )A. B. C. D.2．已知 x，y＞0，的最小值为 4，则 xy＝________.3．已知 x，y，a，b∈R＋，且＋＝1，求 x＋y 的最小值．探究案一、合作探究题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例 1 已知 p，q 均为正数，且 p3＋q3＝ 2.求证：p＋q≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“ p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？题型二、运用柯西不等式求最值例 2 若 2x＋3y＝1，求 4x2＋9y2的最小值．【精彩点拨】 由 2x＋3y＝1 以及 4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．[再练一题]2．若 3x＋4y＝2，试求 x2＋y2的最小值及最小值点.题型三、二维柯西不等式代数形式的应用例 3 已知|3x＋4y|＝5，求证：x2＋y2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．[再练一题]3． 设 a，b∈R＋且 a＋b＝2.求证：＋≥2.二、随堂检测1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2的最小值为( )A. B．169 C．13 D.02．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则(＋)2的最大值是( )A．2 B. C．6 D.123．平面向量 a，b 中，若 a＝(4，－3)，|b|＝1，且 a·b＝5，则向量 b＝________.参考答案预习检测：1.【解析】 2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝.【答案】 B2.【解析】 ∵≥＝，∴＝4.又＞0，∴＝1，∴xy＝1.【答案】 13.【解】 构造两组实数，；，.∵x，y，a，b∈R＋，＋＝1，∴x＋y＝[()2＋()2][＋]≥(＋)2，当且仅当∶＝∶，即＝时取等号，∴(x＋y)min＝(＋)2.随堂检测：1.【解析】 (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥1 3.【答案】 C2.【解析】 (＋)2＝(1×＋1×)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当＝，即 a＝b＝时等号成立．故选 D.【答案】 D3.【解析】 |a|＝＝5，且 |b|＝1，∴a·b＝|a|·|b|，因此，b 与 a 共线，且方向相同，∴b＝.【答案】 224 +3（- ）
