第 2 课时 空间向量与垂直关系1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.(重点)2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 空间中垂直关系的向量表示阅读教材 P103～P104练习以上部分，完成下列问题.线线垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b＝(b1，b2，b3) ，则 l⊥m⇔a · b ＝ 0 ⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 线面垂直设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是 u＝( a2，b2，c2 )，则 l⊥α⇔a ∥ u ⇔a ＝ k u ⇔( a 1， b 1， c 1) ＝ k ( a 2， b 2， c 2)(k∈R)面面垂直若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ u ⊥ v ⇔u·v ＝ 0 ⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0 若直线 l 的方向向量 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 n＝(－2,0，－4)，则( )A.l∥α B.l⊥αC.l⊂αD.l 与 α 斜交【解析】 n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.【答案】 B[小组合作型]利用向量证明线线垂直 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1上的点，且 CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.图 3281【精彩点拨】 (1)若选AB，AC，AA1为基向量，你能用基向量表示AB1与MN吗？怎样证明AB1与MN垂直？(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？你能用坐标表示向量AB1与MN并证明它们垂直吗？【自主解答】 设 AB 的中点为 O，作 OO1∥AA1.以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A，B，C，N，B1， M 为 BC 的中点，∴M.∴MN＝，AB1＝(1,0,1)，∴MN·AB1＝－＋0＋＝0.∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：1 基向量法① 选取三个不共线的已知向量通常是它们的模及其两两夹角为已知为空间的一个基底；② 把两直线的方向向量用基底表示；③ 利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为 0；④ 由方向向量垂直得到两直线垂直.2 坐标法① 根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；② 根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③ 计算两直线方向向量的数量积为 0；④ 由方向向量垂直得到两直线垂直.[再练一题]1.如图 329，直四棱柱 ABCDA1B...
