3.1 二维形式的柯西不等式预习导航1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 1．二维形式的柯西不等式(1)若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥( ac ＋ bd ) 2 ，当且仅当 ad ＝ bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥( ＋ ) 2 (a，b，c，d 为非负实数)；·≥| ac ＋ bd | (a，b，c，d∈R)；·≥| ac | ＋ | bd | (a，b，c，d∈R)．【做一做 1】已知 a，b＞0，且 a＋b＝1，则(＋)2的最大值是( )A．2 B． C．6 D．12解析：(＋)2＝(1×＋1×)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当＝，即 a＝b＝时等号成立．答案：D2．柯西不等式的向量形式设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤|α || β | ，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使α＝kβ 时，等号成立．【做一做 2】设 a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则 a·b 的最小值为__________，此时 b＝__________.解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a·b|≤|a|·|b|，∴|a·b|≤×6＝18，当且仅当存在实数 k，使 a＝kb 时，等号成立．∴－18≤a·b≤18.∴a·b 的最小值为－18，此时 b＝－2a＝(4，－2，－4)．答案：－18 (4，－2，－4)3．二维形式的三角不等式(1)设 x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥.(2)推论：＋≥(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．归纳总结 解决柯西不等式的应用问题，关键是把原有式子巧妙地转化为柯西不等式的形式．1
