高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第2课时 空间向量与空间角学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

第 2 课时 空间向量与空间角 1.理解直线与平面所成角的概念． 2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．3．体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲． [学生用书 P66]空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为 θ，它们的方向向量为 a，b，则 cos θ＝|cos〈a，b〉|＝直线与平面所成的角设直线 l 与平面 α 所成的角为θ，l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，则 sin θ＝|cos 〈 a ， n 〉 | ＝二面角设二面角 αlβ 的平面角为 θ，平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2，则|cos θ|＝|cos 〈 n 1， n 2〉 | ＝[0 ， π] (1)由于直线 a、b 所成角 θ∈，故 cos θ＝|cos〈a，b〉|.(2)直线 a 与平面 α 所成角 θ∈，由图形知〈a，m〉与 θ 的余角相等或互补，故 sin θ＝|cos〈a，m〉|. (3)二面角 αlβ 的大小 θ∈[0，π]，〈n，m〉∈[0，π]，但两角可能相等或互补，因此需借助图形进行判断，判断后再解释结论． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )(2)若向量 n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝.( )(3)直线与平面所成角的范围为.( )答案：(1)× (2)× (3)× 若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角是 150°，则 l1与 l2这两条异面直线所成的角等于( )A．30° B．150°C．30°或 150° D.以上均错答案：A 已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则直线 l 与平面 α 所成的角为( )A．30° B．60°C．120° D.150°答案：A 已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．答案：45°或 135°探究点 1 求两条异面直线所成的角[学生用书 P67] 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且 PA＝AB＝BC＝AD＝1，求 PB 与 CD 所成的角．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，所以BP＝(－1，0，1)，DC＝(1，－1，0)，cos〈BP，DC〉＝＝＝－，所以〈BP，DC〉＝120°，故 PB 与 CD 所成的角为 60°.求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解...