高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入复习提升课学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习提升课 复数的概念[问题展示] （教材 P116 复习参考题 A 组 T2）已知复数 z 与（z＋2）2－8i 都是纯虚数，求 z.【解】 因为 z 是纯虚数，所以设 z＝bi（b≠0，b∈R）.则（z＋2）2－8i＝（2＋bi）2－8i＝4＋4bi＋b2i2－8i＝（4－b2）＋（4b－8）i因为（z＋2）2－8i 也是纯虚数，所以所以 b＝－2.所以 z＝－2i.复数 z 满足（z＋2）2＝－8i，求复数 z.【解】 设 z＝x＋yi，x，y∈R，所以（x＋yi＋2）2＝－8i，即（x＋2）2－y2＋2（x＋2）yi＝－8i，所以解得或所以 z＝－2i 或 z＝－4＋2i.复数 z 满足（z＋2）2－8i 是纯虚数.求|z|的最小值.【解】 设 z＝x＋yi（x，y∈R），则（z＋2）2－8i＝（x＋2＋yi）2－8i＝（x＋2）2－y2＋[2（x＋2）y－8]i.因为（z＋2）2－8i 是纯虚数，所以由①得，y2＝（x＋2）2，所以|z|2＝x2＋y2＝x2＋（x＋2）2＝2x2＋4x＋4＝2（x＋1）2＋2.所以当 x＝－1，y＝±1 时，满足②式，此时，|z|2的最小值为 2，即|z|min＝. 复数的几何意义[问题展示] （教材 P112 习题 3.2A 组 T3）ABCD 是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是 1＋3i，－i，2＋i，求点 D 对应的复数.【解】 由复数的几何意义知，A，B，C 分别对应复平面内点（1，3），（0，－1），（2，1）.又因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以AB＝DC.设 D（x，y），则有（－1，－4）＝（2－x，1－y），所以解得故点 D 对应的复数为 3＋5i.在复平面上，A，B，C，D 四点对应的复数分别为 1＋3i，－i，2＋i，3＋5i，则四边形 ABCD 一定是（ ）A.矩形 B.梯形C.正方形 D.平行四边形【解析】 因为AB＝（0，－1）－（1，3）＝（－1，－4），AD＝（3，5）－（1，3）＝（2，2），BC＝（2，1）－（0，－1）＝（2，2）.所以AD＝BC，AB·AD＝（－1，－4）·（2，2）＝－10≠0.所以 ABCD 仅为平行四边形，故选 D.【答案】 D【拓展 1】 在复平面 xOy 中，四边形 ABCD 的点 B，D 对应的复数分别为－i 与 3＋5i，A，C 两点在直线 2x＋y－5＝0 上，且 A、C 两点对应的复数 zA与 zC的实部和虚部都是正整数.（1）求证：四边形 ABCD 为平行四边形；（2）计算：zAzC与.【解】 （1）证明：设 zA＝a＋bi，zC＝c＋di，且 a，b，c，d∈N*，zA≠zC，因为 A、C 两点都在直线 2x＋y－5＝0 上，所以（a，b）与（c，d）是方程 2x＋y－5＝0 的正整数解...