高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第3课时 空间向量与空间角学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

第 3 课时 空间向量与空间角1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角.(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系.(易错点)[基础·初探]教材整理 空间角的向量求法阅读教材 P106～P110的内容，完成下列问题.角的分类向量求法范围两异面直线 l1与 l2所成的角 θ设 l1与 l2的方向向量为 a，b，则 cos θ＝________＝________直 线 l 与 平 面 α所成的角 θ设 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，则 sin θ＝________＝________二面角 αlβ 的平面角 θ设平面 α，β 的法向量为 n1，n2，则|cos θ|＝________＝[0，π]【答案】 |cos〈a，b〉| |cos〈a，n〉| |cos〈n1，n2〉|已知向量 m，n 分别是直线 l 与平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则 l 与α 所成的角为( )A.30° B.60° C.150° D.120°【解析】 设 l 与 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，应选 B.【答案】 B[小组合作型]求异面直线所成的角 如图 3220，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V分别在 x 轴、y 轴、z 轴上，D 是线段 AB 的中点，且 AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当 θ＝时，求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值.1图 3220【精彩点拨】 →→【自主解答】 由于 AC＝BC＝2，D 是 AB 的中点，所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).当 θ＝时，在 Rt△VCD 中，CD＝，∴V(0,0, )，∴AC＝(－2,0,0)，VD＝(1,1，－)，∴cos〈AC，VD〉＝＝＝－.∴异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为.1.几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可.2.由于两异面直线夹角 θ 的范围是，而两向量夹角 α 的范围是[0，π]，故应有 cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意.[再练一题]1.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值.【解】 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则 A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得A1B＝(0,4，－3)，B1C＝(－4,0，－3).设A1B与B1C的夹角为 θ，则 cos θ＝＝，故A1B与B1C的...