第 3 课时 空间向量与空间距离(选学) 1.了解点到直线、平面距离的概念． 2.会用空间向量求点到直线、平面的距离． [学生用书 P69]空间距离的向量求法分类向量求法两点间的距离设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则 d＝|AB|＝＝点到平面的距离设平面 α 的法向量为 n，B∉α，A∈α，则 B 点到平面 α 的距离 d＝点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面 α 外一点 A 到平面 α 的距离，就是点 A 与平面内一点 B 所成向量AB的长度．( )(2)直线 l∥平面 α，则直线 l 到平面 α 的距离就是直线 l 上的点到平面 α 的距离．( )(3)若平面 α∥β，则两平面 α，β 的距离可转化为平面 α 内某条直线到平面 β 的距离，也可转化为平面 α 内某点到平面 β 的距离．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ 空间内有三点 A(2，1，3)，B(0，2，5)，C(3，7，0)，则点 B 到 AC 的中点 P 的距离为( )A. B．5C. D.3答案：C 已知直线 l 过点 A(1，－1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n＝(－3，0，4)，则P(3，5，0)到 l 的距离为( )A．5 B．14C. D.答案：C 已知直线 l 与平面 α 相交于点 O，A∈l，B 为线段 OA 的中点，若点 A 到平面 α 的距离为 10，则点 B 到平面 α 的距离为________．答案：5探究点 1 点到直线的距离[学生用书 P70] 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCDA′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．【解】 因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直线 A′C 的方向向量A′C＝(1，2，－3)．又BC＝(0，2，0)，所以BC在A′C上的投影长为＝ .所以点 B 到直线 A′C 的距离d＝)＝ ＝.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)求直线的方向向量．(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长．(4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 C1C，D1A1的中点，求点 A 到 EF的距离．解：以 D 点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设 DA＝2，则 A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则EF...
