高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

3.2 一般形式的柯西不等式课堂导学三点剖析一、利用柯西不等式证明不等式【例 1】 设 α、β∈（0， 2 ），试用柯西不等式证明2222sincossin1cos1≥9.证明: 22222222sincossinsincossincossin12222cossin1sinsin1又 cos2α＋sin2α·sin2β+sin2α·cos2β=1,∴(cos2α+sin2α·sin2β+sin2α·cos2β)·(2222sincossin1cos1)≥(1+1+1)2=9.∴2222sincossin1cos1≥9.温馨提示 由于右式常数为 9=(1+1+1)2,因此左式应有三项，于是想到把222sincossin1拆成两项.凑项、凑常数是柯西不等式证题时常用的一种基本技巧.各个击破类题演练 1设 a、b、c∈R+，证明bacacbcba222≥21 (a+b+c).证明: a、b、c＞0，∴2(a+b+c)=［(a+b)+(b+c)+(c+a)］.∴［(b+c)+(c+a)+(a+b)］(bacacbcba222)≥(a+b+c)2.∴bacacbcba222≥21 (a+b+c).变式提升 11设 x1，x2,…，xn∈R+,求证：1221322221xxxxxxxxnnn≥x1+x2+…+xn.证明: x1,x2,…,xn∈R+,∴(x2+x3+x4+…+xn+x1)(12423322221xxxxxxxxn)≥(x1+x2+…+xn)2.∴1221322221xxxxxxxxnnn≥x1+x2+…+xn.温馨提示 为了证明不等式，把 x1+x2+…+xn中的 x1的位置移至最后，在应用柯西不等式时解决了大问题，不要小瞧这一小小的技巧哟!二、利用柯西不等式证条件不等式【例 2】 a、b、c∈R+，且 a+b+c=1,求证：(a+ a1 )2+(b+ b1 )2+(c+ c1 )2≥ 3100 .证明： (12+12+12)［(a+ a1 )2+(b+ b1 )2+(c+ c1 )2］≥［(a+ a1 )+(b+ b1 )+(c+ c1 )］2=［1+( a1 + b1 + c1 )］2,而(a+b+c)( a1 + b1 + c1 )≥(1+1+1)2=9,即 a1 + b1 + c1 ≥9,∴［1+( a1 + b1 + c1 )］2≥100.∴(a+ a1 )2+(b+ b1 )2+(c+ c1 )2≥ 3100 .温馨提示 证明条件不等式的关键是如何恰当地利用好条件.本题注意到要证的不等式左边是平方和的形式，而已知条件中 a+b＋c=1 是一次式，于是想到利用柯西不等式变形，建立起 a、b、c之间的关系，以便用上条件.类题演练 2已知 a1,a2,…,an都是正数，且 a1+a2+…+an＝1，求证：(a1+11a)2+(a2+21a)2+…+(an+na1 )2≥nn22)1(.证明:原不等式等价于n［(a1+11a)2+(a2+21a)2+…+(an+na1 )2］≥(n2+1)2. (12+12+…+12)·［(a1+11a)2+(a2+21a)2+…+(an+na1 )2］≥［(a1+11a...