第 3 课时 用空间向量解决空间角与距离问题学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角和距离问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．知识点 空间三种角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为 θ，它们的方向向量分别为a，b，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|＝直线与平面所成的角设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|＝二面角设二面角 α－l－β 为 θ，平面 α，β 的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝[0，π](1)直线与平面所成的角 α 与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角 β 互余．(×)(2)二面角的大小范围是.(×)(3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．(×)(4)直线与平面所成角的范围是.(√)类型一 求线线角、线面角例 1 (1)在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为________．考点 向量法求直线与直线所成的角题点 向量法求线线角答案 解析 如图所示，以 C 为坐标原点，直线 CA 为 x 轴，直线 CB 为 y 轴，直线 CC1为 z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz.设 CA＝CB＝CC1＝1，则 B(0,1,0)，M，A(1,0,0)，N，故BM＝，AN＝，所以 cos〈BM，AN〉＝＝＝.(2)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AD＝AB＝2BC，M，N 分别为 PC，PB 的中点．① 求证：PB⊥DM；② 求 BD 与平面 ADMN 所成的角．考点 向量法求直线与直线所成的角题点 向量法求线线角① 证明 如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M. PB·DM＝(2,0，－2)·＝0，∴PB⊥DM.② 解 PB·AD＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，∴PB⊥AD.又 PB⊥DM，AD∩DM＝D，∴PB⊥平面 ADMN.即PB为平面 ADMN 的一个法向量．因此〈PB，DB〉的余角即是 BD 与平面 ADMN 所成的角． cos〈PB，DB〉＝＝＝，且〈PB，DB〉∈[0，π]，∴〈PB，DB〉＝，∴BD 与平面 ADMN 所成...
