3.2 一般形式的柯西不等式预习案一、预习目标及范围1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、预习要点教材整理 1 三维形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥.当且仅当 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理 2 一般形式的柯西不 等式设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥ .当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝ (i＝1,2，…，n)时，等号成立．三、预习检测1.已知 x，y，z∈R ＋且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2的最小值是( )A．1 B. C. D．22.已知 a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则 a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是( )A．1 B．2 C．3 D.43．设 a，b，c 为正数，则(a＋b＋c)的最小值为________.探究 案一、合作探究题型一、利用柯西不等式求最值例 1 已知 a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求 a＋2b＋3c 的最小值及取得最小值时a，b，c 的值．【精彩点拨】 由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．[再练一题]1．已知 x＋4y＋9z＝1，求 x2＋y2＋z2的最 小值．题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例 2 已知正数 x，y，z 满足 x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ 恒成立，求 λ 的取值范围．【精彩点拨】 “恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求最值．[再练一题]2．已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围.题型三、利用柯西不等式证明不等式例 3 已知 a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥9.【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．[再练一题]3．已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]．(1)求 m 的值；(2)若 a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.二、随堂检测1．设 a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则 a·b 的最小值为( )A．18B．6C．－18D.122．若 a＋a＋…＋a ＝1，b＋b＋…＋b＝4，则 a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是( )A．(－∞，2) B．[－2,2]C．(－∞，2]D.[－1,1]3．设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 的最小值为________．参考答案...
