3.2 一般形式的柯西不等式预习导航1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 1．三维形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋ a 3b3) 2 ，当且仅当 bi＝ 0( i ＝ 1,2,3) 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1，2,3)时等号成立．【做一做 1－1】已知 x，y，z＞0，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2的最小值是( )A．1 B． C． D．3解析：由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)·(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝1.∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当 x＝y＝z＝时，等号成立，即所求最小值为.答案：B【做一做 1－2】已知 a，b，c＞0，且 a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为( )A．3 B．3 C．18 D．9解析：由柯西不等式得：(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝3[3(a＋b＋c)＋3]，又∵a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤3×6＝18，∴＋＋≤3，当且仅当 a＝b＝c＝时等号成立．答案：B2．一般形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn) 2 ，当且仅当 bi＝ 0( i ＝ 1,2 ， …， n ) 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．归纳总结 尽可能地构造符合柯西不等式的形式．常用技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③改变结构；④添项．【做一做 2】若 a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝4，则 a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为( )A．1 B．－1 C．2 D．－2答案：C1
