3.2 一般形式的柯西不等式预习目标1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.一、预习要点1.三维形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥ ____________.当且仅当 b1＝b2＝b3＝0 或存在一个数 k，使得______________时，等 号成立．2．一般形式的柯西不等式定理：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥__________.当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得________(i＝1,2，…，n)时，等号成立. 二、预习检测1．已知 x＋3y＋5z＝6，则 x2＋y2＋z2的最小值为 ( )．A. B. C. D．62．已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为( )．A．24 B．30 C．36 D．483．设 a、b、c 是正实数，且 a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值是________．4．设 a，b，c 为正数，则(a＋b＋c)(＋＋)的最小值为________．5．若 a＋a＋…＋a＝1， b＋b＋…＋b＝4，则 a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是( )A．(－∞，2) B．[－2,2]C．(－∞，2]D．[－1,1]三、思学质疑把你在 本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。参考答案一、预习要点答案1.(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb32.(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 ai＝kbi二、预习检测1.答案 C2. 解析 利用柯西不等式，(x＋y＋z)≥2＝36，∴＋＋≥36，当且仅当 x2＝y2＝z2，即 x＝，y＝，z＝时等号成立．答案 C3.解析 ∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]2＋2＋2≥2＝18.∴＋＋≥2.4.【解析】 由 a，b，c 为正数，∴(a＋b＋c)(＋＋)＝[()2＋()2＋()2][()2＋＋()2＋()2]5.【解 析】 ∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，∴ |a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，当且仅当 ai＝bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；当且仅当 ai＝－bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选 B.【答案】 B
