第三章章末整合提升网络构建·理脉络复数专题突破·启智能专题 利用复数的基本概念解题1．复数实部与虚部的区分对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，其中 a 和 b 分别叫做复数 z 的实部和虚部，一定要注意bi 不是虚部．如 2＋3i 的实部为 2，虚部为 3，而不是 3i.2．纯虚数的理解对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 且 b≠0 时，叫做纯虚数，一定要注意记清“a＝0”是必要条件，而不是充要条件．3．共轭复数概念的理解当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，即 z＝a＋bi的共轭复数为＝a－bi(a，b∈R)．4．复数的模复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模为|z|＝.一般来说，在处理涉及复数的概念的问题时，可依据概念建立等式，然后通过解方程(组)求解．典例 1 已知复数 z 与(z＋2)2＋8i 均为纯虚数，求复数 z.[解析] 设 z＝bi(b∈R，b≠0)，则(z＋2)2＋8i＝(2＋bi)2＋8i＝(4－b2)＋(4b＋8)i， (z＋2)2＋8i 为纯虚数，∴4－b2＝0，且 4b＋8≠0.∴b＝2.∴z＝2i.『规律方法』 先设出 z 的代数形式 z＝bi(b∈R，b≠0)，然后依据概念处理．专题 利用复数相等的条件解题对于两个复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d.(1)根据两个复数相等的定义知，在 a＝c，b＝d 两式中，如果有一个不成立，那么 a＋bi≠c＋di.(2)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．把复数问题实数化处理，主要根据复数相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到解题的目的．典例 2 i 是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则 ab 的乘积是( B )A．－15 B．－3C．3 D．15[解析] 因为＝＝－1＋3i，所以 a＝－1，b＝3，故 ab＝－3.典例 3 已知复数 z＝1＋i，求实数 a，b 使 az＋2b＝(a＋2z)2.[解析] z＝1＋i，∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i. a，b 都是实数，∴由 az＋2b＝(a＋2z)2，得两式相加，整理得 a2＋6a＋8＝0，解得 a1＝－2，a2＝－4，对应得 b1＝－1，b2＝2.∴所求实数为 a＝－2，b＝－1 或 a＝－4，b＝2.『规律方法』 复数问题化归为实数问题，是解决复数问题的一种重要思想方法．专题 复数代数形式的四则运算熟记几个结论对解决问题是十分有利的：(1)i 的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1...
