第 1 节 二维形式的柯西不等式创新应用[核心必知]1．二维形式的柯西不等式(1)若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥( ac ＋ bd ) 2 ，当且仅当 ad ＝ bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥( ＋ ) 2(a，b，c，d 为非负实数)；·≥| ac ＋ bd | (a，b，c，d∈R)；·≥| ac | ＋ | bd | (a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤| α || β | ，当且仅当 β 是零向量，或存在实数k，使 α＝kβ 时，等号成立．3．二维形式的三角不等式(1)＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)．(2)推论：＋≥，(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．[问题思考]1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成＝吗？提示：不可以．当 b · d ＝ 0 时 ， 柯西不等式成立 ， 但＝不成立 ．2．不等式＋≥(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？提示：当且仅当 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线，且 P1，P2在原点两旁时，等号成立.·≥a＋c， 设 a，b，c 为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．[精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：·≥a＋b，即·≥a＋b，同理：·≥b＋c，·≥a＋c，将上面三个同向不等式相加得：(＋＋)≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥·(a＋b＋c)．利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中 a，b，c，d∈R 或(a＋b)·(c＋d)≥(＋)2，其中a，b，c，d∈R＋.1．设 a1，a2，a3为正数，求证：＋＋≥2(＋＋)．证明：因为 a＋aa2＋a1a＋a＝(a1＋a2)·(a＋a)，由柯西不等式得[()2＋()2](a＋a)≥(a1＋a2)2，于是 a＋aa2＋a1a＋a≥(＋)2.故≥＋，同理≥＋，≥＋.将以上三个同向不等式相加，即得＋＋≥2(＋＋)． 设 a，b，c，d 是 4 个不全为零的实数，求证：≤ .[精讲详析] 本题考查柯西不等式的灵活应用，解答本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件．ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad)≤＋＝·＋≤·＋＝(a2＋b2＋c2＋d2)．∴≤.利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合...
