高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

3．1 数学归纳法原理[读教材·填要点]1．数学归纳法原理对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题 p(n)，可以用以下两个步骤来证明它的正确性：(1)证明当 n 取初始值 n0(例如 n0＝0，n0＝1 等)时命题成立；(2)假设当 n ＝ k ( k 为自然数，且 k ≥ n 0)时命题正确，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也正确．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值 n0开始的所有自然数都正确．2．数学归纳法的基本过程[小问题·大思维]1．在数学归纳法中，n0一定等于 0 吗？提示：不一定．n0是适合命题的自然数中的最小值，有时是 n0＝0 或 n0＝1，有时 n0值也比较大，而不一定是从 0 开始取值．2．数学归纳法的适用范围是什么？提示：数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的数学命题的证明．3．数学归纳法中的两步的作用是什么？提示：在数学归纳法中的第一步“验证 n＝n0时，命题成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础．第二步是归纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n 取第一个值 n0后面的所有自然数也都成立．用数学归纳法证明恒等式[例 1] 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．[思路点拨] 本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用，解答本题需要注意等式的左边有 2n 项，右边有 n 项，由 k 到 k＋1 时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由“n＝k”到“n＝k＋1”时，要注意项的合并．[精解详析] (1)当 n＝1 时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．1(2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N＋)时命题成立，即有1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.则当 n＝k＋1 时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋，从而可知，当 n＝k＋1 时，命题亦成立．由(1)(2)可知，命题对一切正整数 n 均成立．(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述 n＝n0时命题的形式，二是准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点．(2)应用数学归纳法时的常见问题① 第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是 n＝0，有时需验证 n＝1，n＝2.② 对 n＝k＋1 时式子的项数以及 n＝k 与 n＝k＋1 的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．③“假设 n＝k 时命题成立，利用这一假设证明 n＝k＋1 时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导...