3.1.1 数学归纳法原理1.理解归纳法和数学归纳法原理.2.会用数学归纳法证明有关问题.自学导引1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 n 取初始值 n 0 时命题成立；(2)假设当 n ＝ k 时命题成立，证明 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值 n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.基础自测1.设 f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么 f(n＋1)－f(n)等于( )A. B.C.＋ D.－解析 f(n)＝＋＋＋…＋f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－，选 D.答案 D2.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k 到 k＋1”左边需增乘的代数式是( )A.2k＋1 B.C.2(2k＋1) D.解析 n＝k 时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1).n＝k＋1 时，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1).∴增乘的代数式是＝2(2k＋1)，选 C.答案 C13.数列{an}中，已知 a1＝1，当 n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4后，猜想 an的表达式是________.解析 a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想 an＝n2.答案 an＝n2知识点 1 利用数学归纳法证明等式【例 1】 通过计算下面的式子，猜想出－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)的结果，并加以证明.－1＋3＝________；－1＋3－5＝________；－1＋3－5＋7＝________；－1＋3－5＋7－9＝________.解 上面四个式子的结果分别是 2，－3，4，－5，由此猜想：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn下面用数学归纳法证明：(1)当 n＝1 时，式子左右两边都等于－1，即这时等式成立.(2)假设当 n＝k(k≥1)时等式成立，即－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＝(－1)kk当 n＝k＋1 时，－1＋3－5＋…＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)kk＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(－k＋2k＋1)＝(－1)k＋1(k＋1).即 n＝k＋1 时，命题成立.由(1)(2)知，命题对于 n∈N*都成立.●反思感悟：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关.由 n＝k 到n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.1.用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋....
