二 一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋ a 3b3) 2 ，当且仅当 bi＝ 0( i ＝ 1,2,3) 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立．2．一般形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn) 2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式 设 x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥
根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明． (x1＋x2＋…＋xn)＝·≥2＝n2，∴＋＋…＋≥
柯西不等式的结构特征可以记为：(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2
其中 ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)．在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．已知 a，b，c，d∈R＋，且 a＋b＋c＝1
求证：＋＋≤3
证明：根据柯西不等式，有(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝18，∴＋＋≤3
2．设 a1，a2，a3均为正数，且 a1＋a2＋a3＝
求证：＋＋≥1
证明：法一：由柯西不等式，得·9＝＝·≥2＝9，1当且仅当()2＝()2＝()2，即 a1＝a2＝a3＝时，等号成立，所以＋＋≥1
法二：因为≥3·3＝9，当且仅当 a1＝a2＝a3时，等号成立，又 a1＋a2＋a3＝，所以·2×≥9，所以＋＋≥1
利用柯西不等式求最值 (1)已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1，
