二 一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋ a 3b3) 2 ，当且仅当 bi＝ 0( i ＝ 1,2,3) 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立．2．一般形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn) 2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式 设 x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥. 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明． (x1＋x2＋…＋xn)＝·≥2＝n2，∴＋＋…＋≥.柯西不等式的结构特征可以记为：(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2.其中 ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)．在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．已知 a，b，c，d∈R＋，且 a＋b＋c＝1.求证：＋＋≤3.证明：根据柯西不等式，有(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝18，∴＋＋≤3.2．设 a1，a2，a3均为正数，且 a1＋a2＋a3＝.求证：＋＋≥1.证明：法一：由柯西不等式，得·9＝＝·≥2＝9，1当且仅当()2＝()2＝()2，即 a1＝a2＝a3＝时，等号成立，所以＋＋≥1.法二：因为≥3·3＝9，当且仅当 a1＝a2＝a3时，等号成立，又 a1＋a2＋a3＝，所以·2×≥9，所以＋＋≥1.利用柯西不等式求最值 (1)已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1，求 ＋ ＋ 的最小值．(2)设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 μ＝＋＋的最大值． (1)巧妙利用“1”的代换，构造柯西不等式来求最值．(2)对原式变形、添项构造柯西不等式求最值． (1) x＋y＋z＝1，∴＋＋＝(x＋y＋z)≥2＝(1＋2＋3)2＝36.当且仅当 x＝＝，即 x＝，y＝，z＝时，等号成立．所以＋＋的最小值为 36.(2)根据柯西不等式，有(·1＋·1＋·1)2≤·(1＋1＋1)＝3×(2x＋3y＋5z＋11)＝3×40＝120.故＋＋≤2，当且仅当 2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即 x＝，y＝，z＝时，等号成立．此时 μmax＝2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．3．已知：x，y，z∈R＋且 x＋y＋z＝2，则＋2＋的最大值为( )A．2 B．2 C．4 D．5解析：选 C (＋2＋)2＝(1×＋2＋·...
