第三章 数学归纳法与贝努利不等式本章复习课1.理解数学归纳法原理，会用数学归纳法证明与正整数有关的等式、不等式、整除性问题和几何问题.2.会用数学归纳法证明绝对值不等式、均值不等式、柯西不等式和贝努利不等式，会用贝努利不等式证明有关的简单问题.知识结构—知识梳理1.数学归纳法及其原理数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方法.即先证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0＝1)时命题成立，然后假设当 n＝k (k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立，那么就证明了这个命题成立.这种证明方法叫做数学归纳法.2.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设 n＝k 时，结论成立，推得 n＝k＋1 时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.3.运用数学归纳法时易犯的错误(1)对项数估算的错误，特别是寻找 n＝k 与 n＝k＋1 的关系时，项数发生什么变化被弄错.(2)没有利用归纳假设.(3)关键步骤含糊不清，“假设 n＝k 时结论成立，利用此假设证明 n＝k＋1 时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性.典例剖析知识点 1 归纳、猜想、证明问题【例 1】 已知 x＋＝2cos θ，(1)计算 x2＋及 x3＋的值；(2)归纳出 xn＋ (n∈N*)的值，再用数学归纳法证明.1解 (1)x2＋＝－2＝22cos2θ－2＝2(2cos2θ－1)＝2cos 2θx3＋＝－3，＝8cos3θ－3×2cos θ＝2cos 3θ.(2)由(1)猜想 xn＋＝2cos nθ (n∈N*)证明：①当 n＝1，2 时，由(1)已证② 假设 n＝k 及 n＝k－1 时，命题成立，即 xk＋＝2cos kθ，xk－1＋＝2cos(k－1)θ (k≥2，k∈N*)则 n＝k＋1 时，xk＋1＋＝－＝4cos kθcos θ－2cos(k－1)θ＝2[cos(k＋1)θ＋cos(k－1)θ]－2cos(k－1)θ＝2cos(k＋1)θ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，由①、②知，对一切 n∈N*都有 xn＋＝2cos nθ.知识点 2 探索性问题【例 2】 是否存在常数 a，b，c 使得等式 1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切 n∈N*都成立？并证明你的结论.解 假设存在符合题意的常数 a，b，c，在等式 1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)中，令 n＝1，得 4＝(a＋b＋c)①令 n＝2，得 22＝(4a＋...
