高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法（1）空间向量与平行关系学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

3.2 立体几何中的向量方法（1）空间向量与平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点 P 的位置向量.(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.② 对于直线 l 上的任一点 P，存在实数 t，使得AP＝tAB，此方程称为直线的向量参数方程.(3)平面：①空间中平面 α 的位置可以由 α 内两条相交直线来确定.对于平面 α 上的任一点 P，a，b 是平面 α 内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP＝xa＋yb.② 空间中平面 α 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.梳理 (1)用向量表示直线的位置条件直线 l 上一点 A表示直线 l 方向的向量 a(即直线的方向向量)形式在直线 l 上取AB＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使得AP＝t AB 作用定位置点 A 和向量 a 可以确定直线的位置定点可以具体表示出 l 上的任意一点(2)用向量表示平面的位置① 通过平面 α 上的一个定点 O 和两个向量 a 和 b 来确定：条件平面 α 内两条相交直线的方向向量 a，b 和交点 O形式对于平面 α 上任意一点 P，存在有序实数对(x，y)使得OP＝xa＋yb② 通过平面 α 上的一个定点 A 和法向量来确定：平面的法向量直线 l⊥α，直线 l 的方向向量，叫做平面 α 的法向量确定平面位置过点 A，以向量 a 为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量 a，叫做直线 l 的一个方向向量平面的法向量直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 n ，叫做平面 α 的法向量(4)空间中平行关系的向量表示设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的法向量分别为 μ，v，则线线平行l∥m⇔a ∥ b ⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a · μ ＝ 0 面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ ＝ k v ( k ∈ R ) 知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设 v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线 l1，l2 的方向向...