一 二维形式的柯西不等式 对应学生用书 P291．二维形式的柯西不等式(1)定理 1：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥( ac ＋ bd ) 2 ，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d 为非负实数)；·≥| ac ＋ bd | (a，b，c，d∈R)；·≥| ac | ＋ | bd | (a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理 2：设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中 α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是 β＝0或存在实数 k，使 α＝kβ
3．二维形式的三角不等式(1)定理 3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点 P1，P2与 O 共线，并且 P1，P2点在原点 O 异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有＋≥
事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1，P2，P3 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1，P2，P3共线，并且点 P1，P2在 P3点的异侧时，等号成立． 对应学生用书 P29利用柯西不等式证明不等式[例 1] 已知 θ 为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b)2
[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“ 1＝sin2θ＋cos2θ
”然后用柯西不等式证明．[证明] ＋＝(cos2θ＋sin2θ)≥2＝(a＋b)2，∴(a＋b)2≤＋
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、
