高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法（2）空间向量与垂直关系学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

3.2 立体几何中的向量方法（2）空间向量与垂直关系学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线 l1的方向向量为 μ1＝(1，3，2)，直线 l2的方向向量为 μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案 l1与 l2垂直，因为 μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以 μ1⊥μ2，又 μ1，μ2是两直线的方向向量，所以 l1与 l2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点 A、B 与 C、D，计算向量AB与CD的坐标，若AB·CD＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.梳理 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b ＝ 0 ⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 .知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线 l 的方向向量为 μ1＝，平面 α 的法向量为 μ2＝，则直线 l 与平面 α 的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为 μ1＝μ2，所以 μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线 l 与平面 α 垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量共线⇒l⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内.(3)直线 l 的方向向量与平面 α 内的两相交直线的方向向量垂直⇒l⊥α.梳理 设直线 l 的方向向量 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔a ＝ k μ ( k ∈ R ) .知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面 α，β 的法向量分别为 μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面 α，β 垂直的关系式是什么？答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理 若平面 α 的法向量为 μ＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量为 ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0 .类型一 证明线线垂直例 1 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1上的点，且 CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.证明 设 AB 中点为 O，作...