高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

一 二维形式的柯西不等式 1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理 1、定理 2、定理3 等几种不同形式，理解它们的几何意义．2．会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理 1、定理 2、定理 3，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值．二维形式的柯西不等式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)·≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等号成立)．( )(2)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d∈R＋，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立)．( )(3)·≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时，等号成立)．( )(4)在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以是＝.( )(5)设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤|α||β|中等号成立的条件是存在实数 k，使α＝k·β.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．设 a＝(－2，)，|b|＝6，则 a·b 的最小值为( )A．18 B．6C．－18 D．12解析：选 C.因为|a·b|≤|a||b|，所以|a·b|≤18，1所以－18≤a·b≤18，a·b 的最小值为－18，故选 C.3．设 a，b∈R，若 a2＋b2＝5，则 a＋2b 的最大值为( )A． B．－C．5 D．－5解析：选 C.由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2，所以(a＋2b)2≤5×5＝25，当且仅当 2a＝b 时，等号成立．所以(a＋2b)max＝5.4．设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．解析：根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得 25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.答案： 利用柯西不等式求最值[学生用书 P40] (1)求 f(x)＝2＋的最大值．(2)若 3x＋4y＝2，求 x2＋y2的最小值．【解】 (1)因为 f(x)＝2＋＝×＋1×≤×＝×＝3.当且仅当×＝，即 x＝0 时取等号，故 f(x)＝2＋的最大值是 3.(2)因为 3x＋4y＝2，所以 x2＋y2＝(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2＝，当且仅当时，即时“＝”成立．所以 x2＋y2的最小值为.利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；2(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 1.若 a2＋...