一 二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理 1：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥( ac ＋ bd ) 2 ，当且仅当 ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d 为非负实数)；·≥| ac ＋ bd | (a，b，c，d∈R)；·≥| ac | ＋ | bd | (a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理 2：设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立． 柯西不等式的向量形式中 α·β≤|α|·|β|，取等号的条件是 β＝0 或存在实数k，使 α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理 3：x1，y1，x2，y2∈R，那么 ＋≥.(2)推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有＋≥ .事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1，P2，P3共线，并且点 P1，P2在 P3点的异侧时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式 设＋＝1，求证：x2＋y2≥(m＋n)2. 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，然后用柯西不等式证明． ＋＝1，∴x2＋y2＝(x2＋y2)≥2＝(m＋n)2.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知 a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1.证明：由柯西不等式，得(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1，∴|ax＋by|≤1.2.已知 a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.证明：(a1b1＋a2b2)＝≥2＝(a1＋a2)2.3．设 a，b，c 为正数，求证： ＋＋≥ (a＋b＋c)．1证明：由柯西不等式，得·≥a＋b，即·≥a＋b.同理·≥b＋c，·≥a＋c，将上面三个同向不等式相加，得≥2(a＋b＋c)，∴ ＋ ＋ ≥ ·(a＋b＋c).利用柯西不等式求最值 求函数 y＝3sin α＋4cos α 的最大值． 函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值． 由柯西不等式，得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2α)＝25，∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当＝>0，即 sin α＝，cos α＝时取等号，即函数的最大值为 5.利用柯西不等式求最值(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从...
