3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学习目标 1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线 l 上给定一个定点 A 和它的一个方向向量 a，对于直线 l 上的任意一点 P，则有AP＝ta 或OP＝OA＋ta 或OP＝(1－t)OA＋tOB(AB＝a)，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量 a 称为该直线的方向向量．2．线段 AB 的中点 M 的向量表达式OM＝(OA＋OB)．知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则由向量共线的条件，得 l1∥l2或 l1与 l2重合⇔v1∥v2.2．已知两个不共线向量 v1，v2与平面 α 共面，一条直线 l 的一个方向向量为 v，则由共面向量定理，可得l∥α 或 l 在 α 内⇔存在两个实数 x，y，使 v＝x v1＋y v2.3．已知两个不共线向量 v1，v2与平面 α 共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β 或 α 与 β 重合⇔v1∥β 且 v2∥β.知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为 θ，v1 和 v2 分别是 l1 和 l2 的方向向量，则 l1⊥l2⇔v1⊥v2，cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.2．求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量 v1，v2，所以 cos〈v1，v2〉＝.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．1．直线 l 的方向向量是唯一的．( × )2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ )3．若向量 a 是直线 l 的一个方向向量，则向量 ka 也是直线 l 的一个方向向量．( × )4．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．( × )题型一 空间中点的位置确定例 1 已知点 A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以AB的方向为正向，在直线 AB 上建立一条数轴，P，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1.求点 P 和点 Q 的坐标．解 (1)由已知，得PB＝2AP，即OB－OP＝2(OP－OA)，OP＝OA＋OB.设点 P 坐标为(x，y，z)，则...
