高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 第二节 平面与圆柱面的截线课堂导学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

第二节 平面与圆柱面的截线课堂导学三点剖析一、椭圆的度量性质【例 1】已知平面 α 与一圆柱的母线成 60°角,那么该平面与圆柱截口图形的离心率是( )A.23 B.1 C.22 D.21解析： 平面与圆柱截口图形为椭圆,其离心率 e=cos60°= 21 .答案:D温馨提示 椭圆是圆柱与平面的截口,因此,椭圆的度量性质与底面半径、截面及母线夹角密切相关.二、探讨椭圆的性质【例 2】如图 3-2-2,已知球 O1、O2分别切平面 β 于点 F1、F2.G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与 Q1Q2垂直平分,求证:F1F2=222ba .图 3-2-2证明：过 G1作 G1H⊥BG2,H 为垂足,则四边形 ABHG1是矩形.∴G1H=AB. Q1、Q2分别是 P1、P2的平行射影,∴P1Q1P2Q2.∴P1Q1Q2P2是平行四边形.∴Q1Q2=P1P2,即 Q1Q2等于底面直径.∴G1H=AB=Q1Q2=2b.又由切线长定理,G1A=G1F1=G2F2,G2F1=G2B,∴G2F1-G2F2=G2B-G1A.又 G1A=BH,∴G2F1-G2F2=G2B-BH.∴F1F2=G2H.在 Rt△G1G2H 中,G2H=2222212212)2()2(babaHGGG.1温馨提示 探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质,要仔细考查 Dandlin 双球与圆柱及其截平面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似与全等、解直角三角形,以及平行射影的性质等等.三、数形结合——椭圆的解析性质【例 3】已知圆柱底面半径为 3 ,平面 β 与圆柱母线夹角为 60°,在平面 β 上以 G1G2所在直线为横轴,以 G1G2中点为原点,建立平面直角坐标系,求平面 β 与圆柱截口椭圆的方程.解 ： 过 G1 作 G1H⊥BC 于 H. 圆 柱 底 面 半 径 为 3 ,∴AB=32. 四 边 形 ABHG1 是 矩形,∴AB=G1H=32.在 Rt△G1G2H 中,G1G2=2332sin211HGGHG=4.又椭圆短轴长等于底面圆的直径32,∴椭圆的标准方程为3422yx =1.图 3-2-4各个击破类题演练 1已知圆柱的底面半径为 r,平面 α 与圆柱母线的夹角为 60°,则它们截口椭圆的焦距是( )A.r32 B.r34 C.r3 D.3r解析:如图 3-2-1,过 G2作 G2H⊥AD,H 为垂足,则 G2H=2r.图 3-2-1在 Rt△G1G2H 中,G1G2=60cos2HG=2r×2=4r,∴长轴 2a=G1G2=4r,短轴 2b=2r.2∴焦距 2c=2rrba323222.答案:A类题演练 2如图 3-2-3,设两焦点的距离 F1F2=2c,两端点距离 G1G2=2a,截面 β 与圆柱母线的二面角为φ.求证:P 到 F1的距离与到 l1的距离之比等于 ac ,即 e=cosφ= ac .图 3-2-3证明:过 G1作 G1H⊥BC 于 H,则 G1A=BH.由切线长定量得 G2F1=G2B, G1A=G1F1=G2F2,∴G2F1-G2F2=G2B...