3.2.2 空间向量与垂直关系自主预习·探新知情景引入 1．两向量垂直时，它们所在的直线垂直吗？2．两平面的法向量垂直时，两平面垂直吗？3．怎样用直线的方向向量和平面的法向量来描述线面垂直关系？新知导学 空间垂直关系的向量表示设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面 α，β 的法向量分别为 u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥m__a⊥b____a·b ＝ 0 __a1b1＋a2b2＋a3b3＝0l⊥α__a∥u____a ＝ λ u ， λ ∈ R __a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3α⊥β__u⊥v__u·v＝0u1v1＋u2v2＋u3v3＝0预习自测 1．设直线 l1，l2的方向量分别为 a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若 l1⊥l2，则 m 等于( D )A．－2 B．2C．6 D．10[解析] l1⊥l2，则 a⊥b，所以－6－4＋m＝0，∴m＝10，故选 D．2．若平面 α，β 垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( A )A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)3．(2019－2020 学年北京市房山区期末检测)已知直线 l 的方向向量 a＝(－1,2,1)，平面 α 的法向量 b＝(－2,4,2)，则直线 l 与平面 α 的位置关系是( B )A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．l∈α[解析] 直线 l 的方向向量 a＝(－1,2,1)，平面 α 的法向量 b＝(－2,4,2)，∴b＝2a，∴则 b 与 a 共线，可得：l⊥a.故选 B．4．已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且 α⊥β，则x＝__－ 4 __.[解析] α⊥β，则 a⊥b，∴x－2＋6＝0，∴x＝－4.5．已知平面 α 内有一点 M(1，－1,2)，平面 α 的一个法向量 n＝(6，－3,6)，则点P(2,3,3)与平面 α 的位置关系是__P ∈ α __.[解析] MP＝(1,4,1)，∴MP·n＝1×6－3×4＋1×6＝0，∴MP⊥n，又 点 M∈α，∴P∈α.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶ 线线垂直典例 1 已知正方体 ABCD－A′B′C′D′中，点 M、N 分别是棱 BB′与对角线 CA′的中点．求证：MN⊥BB′，MN⊥A′C.[思路分析] 正方体是特殊几何体，从一顶点出发的三条棱相互垂直，故方便建系，求出点的坐标，然后只要验证MN·BB′＝0，MN·A′C＝0 即可．[证明] 设正方体棱长为 1，以 A 为原点，AB、AD、AA′分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间...
