四 弦切角的性质课堂导学三点剖析一、平行射影的定义【例 1】下列说法正确的是( )A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影 B.投影线与投影平面有且只有一个交点C.投影方向可以平行于投影平面 D.一个图形在某个平面的平行射影是唯一的解析： 正射影是平行射影的特例,本质是相同的,故 A 错误. 过平面外一点与平面相交的直线与平面只有一个交点,投影线就是这样的直线,∴B 是正确的. 投影方向与平面只能相交,故 C 是错误的. 一个图形在一个平面的投影与投影方向有关,方向改变了,就得出另外的射影,故 D 错误.答案:B温馨提示 图形的平行射影与两个因素有关:一个是投影方向,一个是投影平面.正确理解平行射影的有关概念,是解决平行射影问题的关键.二、平行射影性质的探讨【例 2】设 C 是线段 AB 上任意一点,C′、A′、B′分别是 C、A、B 在平面 α 上沿直线 l 的平行射影.求证: BCAC =''''CBCA.图 3-1-2证明：如图 3-1-2. AA′∥l,BB′∥l,CC′∥l,∴AA′∥BB′∥CC′.由平行线分线段成比例定理得''''CBBCCAAC .三、平行射影的抽象概括【例 3】如图 3-1-4,圆柱被平面 α 所截.已知 AC 是圆柱口在平面 α 上最长投影线段,BD 是最短的投影线段,EG=FH.1图 3-1-4(1)比较 EF,GH 的大小;(2)若圆柱的底面半径为 r,截面 α 与母线的夹角为 θ,求 CD.解析：(1) EG∥FH 且 EG=FH,∴四边形 EFHG 是平行四边形.∴EF=GH.(2)过 D 作 DP⊥AC 于 P.在 Rt△CDP 中, CDDP =sin∠DCP,∴CD=sin2R .各个击破类题演练 1求证:两条平行线段之比等于它们的平行射影之比.证明:如图 3-1-1,设 AB、CD 在平面 α 上的平行射影为 A′B′、C′D′且 AB∥CD.首先证明 A′B′∥C′D′. 图 3-1-1假设 A′B′与 C′D′不平行而它们的延长线相交于点 P′,且设其为 P 的平行射影.那么 P既在直线 AB 上又在直线 CD 上(否则过 P′点就会有两条直线与投影方向平行),即 AB、CD 不平行,与题设矛盾.∴A′B′∥C′D′.分别过 C 作 CE∥DB 交 AB 于 E,过 C′作 C′E′∥D′B′交 A′B′于 E′,则 BE=CD,C′D′=B′E′,且 E′是 E 在 α 上的平行射影.这样,''''EBBABEAB ,∴ CDAB =''''DCBA.类题演练 2如图 3-1-3,已知 A、B、C 三点在平面 α 上沿直线 l 的平行射影分别为 A′、B′、C′,且 C 是AB 的中点.求证:C′是线段 A′B′的中点.图 3-1-3证明: AA′∥l,BB′...
