3.2.3 空间向量与空间角[目标] 1.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的问题.2.了解向量方法在研究几何问题中的作用．[重点] 用向量的方法求解空间角．[难点] 直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角的关系．知识点一 异面直线所成的角[填一填]设两异面直线所成的角为 θ，它们的方向向量为 a，b，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|＝.[答一答]1．两直线夹角的公式为什么不是 cosθ＝？提示：由于两直线夹角的范围为[0，]，两向量夹角的范围为[0，π]，因此，两直线夹角的公式为 cosθ＝||，而不能直接用向量夹角公式求两直线的夹角．知识点二 直线与平面所成的角[填一填]设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n.则 sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.[答一答]2．设平面 α 的斜线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，l 与 α 所成的角的公式为什么不是 cosθ＝？提示：(1)当 a，n 与 α，l 的关系如下图所示时，l 与 α 所成的角与 a，n 所成的角互余．即 sinθ＝cosa，n．(2)当 a，n 与 α，l 的关系如下图所示时，l 与 α 所成的角与两向量所成的角的补角互余．此时，sinθ＝|cosa，n|.总之，若设直线与平面所成的角为 θ，直线的方向向量与平面的法向量所成的角为 φ，则有 sinθ＝|cosφ|.若直线的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，则 sinθ＝.知识点三 二面角[填一填]1．设二面角 α－l－β 的平面角为 θ，平面 α、β 的法向量分别为 n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝.2．二面角的平面角也可转化为两直线的方向向量的夹角．在两个半平面内，各取一直线与棱垂直，当直线的方向向量的起点在棱上时，两方向向量的夹角即为二面角的平面角．[答一答]3．两平面法向量的夹角就是两平面的夹角吗？提示：不一定．两平面法向量的夹角可能等于两平面的夹角(当 0≤n1，n2≤时)，也有可能与两平面的夹角互为补角(当<n1，n2≤π 时)．其中 n1，n2是两平面的法向量．1．求两异面直线所成的角时，要注意其范围是(0，]．2．求线面角的大小时，要注意所求直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值才是线面角的正弦值．3．求二面角的大小要特别注意需根据具体的图形来判断该二面角是锐角还是钝角．另外注意 利用向量法求二面角有以下两种方法(1)若 AB、CD 分别是两个...
