二 平面与圆柱面的截线预习导航课程目标学习脉络1．通过圆柱形水杯中水面的倾斜，感受平面截圆柱的形式，并能证明定理 1.2．通过 Dandelin 双球探求椭圆的性质，体会这种证明问题的方法.1．定理 1文字语言圆柱形物体的斜截口是椭圆符号语言平面 α 与圆柱 OO′的轴斜交，则截口是椭圆图形语言作用判断截口形状是椭圆2．椭圆(1)定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(2)组成元素：如图所示，F1，F2是椭圆的焦点，B1B2是 F1F2的中垂线．我们把 A1A2 叫做椭圆的长轴，B1B2 叫做椭圆的短轴，F1F2 叫做椭圆的焦距．如果长轴为2a，短轴为 2b，那么焦距 2c＝2.(3)Dandelin 双球探究椭圆性质：如图所示，设球 O1，O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为 α，γ，椭圆所在的斜截面 β 与它们的交线分别为 l1，l2，α，γ 与 β 所成的二面角为θ，母线与平面 β 的交角为 φ.由于 α，β，γ 都是确定的，因此交线 l1，l2也是确定的．1① 当点 P 在椭圆的任意位置时，过 P 作 l1的垂线，垂足为 Q，过 P 作平面 α 的垂线，垂足为 K1，连接 K1Q，得 Rt△PK1Q，则∠QPK1＝φ.从而有＝＝cos_φ＝定值．② 椭圆上任意一点到焦点 F1的距离与到直线 l1的距离之比为定值 cos_φ.我们把直线l1叫做椭圆的一条准线．③ 椭圆上任意一点到焦点 F2的距离与到直线 l2的距离之比也为定值 cos φ，所以 l2是椭圆的另一条准线．④ 记 e＝cos φ，我们把 e 叫做椭圆的离心率．名师点拨 e 的几何意义是，椭圆上一点到焦点的距离与它到准线的距离的比．当 e 越接近于 1 时，c 越接近于 a，从而 b 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，从而 b 越接近于a，椭圆越接近于圆．当 e＝0 时，c＝0，a＝b，两个焦点重合，图形就是圆了．可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量．思考 Dandelin 双球探求椭圆性质的过程是怎样的？提示：通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形，类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形，从而得到定理 1 及有关结论，因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究，这有助于理解椭圆和下一节的知识．圆柱内嵌入两个球，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与圆柱和斜截面均相切，这是证明定理的关键．这种方法是数学家 Dandelin 创立的，故将嵌入的两球称为 Dandelin双球．要注意对于 Dandelin 双球的研究．2
